Question

18．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（$\sqrt{3}$，0）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=x+2与双曲线交于A，B两点，求弦长|AB|．

Answer 1

分析 （1）确定双曲线的几何量，即可求双曲线C的方程；
（2）由直线与双曲线联立得2x²+12x+15=0，解得x=-3±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，利用弦长公式，即可求弦长|AB|．

解答 解：（1）由已知得a=$\sqrt{3}$，c=2，再由c²=a²+b²，得b²=1，
所以双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1．
（2）由直线与双曲线联立得2x²+12x+15=0，解得x=-3±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+1}•\sqrt{6}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．