Question

如图，椭圆过点P(1, )，其左、右焦点分别为F₁,F₂,离心率e＝, M, N是直线x＝4上的两个动点，且·＝0.

（1）求椭圆的方程；

（2）求MN的最小值；

（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论。

Answer 1

解：（1）由已知可得

∴椭圆的方程为＝1                              

（2）设M（4，m），N（4，n），∵F₁(－1，0)，F₂(1，0)

＝(5，m)，＝(3，n)，由＝0mn＝－15＜0  …

∴|MN|＝|m－n|＝|m|＋|n|＝|m|＋≥2   ∴|MN|的最小值为2

（3）以MN为直径的圆C的方程为：(x－4)²＋(y－)＝()² 

令y＝0得(x－4)²＝－＝－mn＝15x＝4±

所以圆C过定点(4－，0)和(4＋，0)