Question

11．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为正方形ABCD的中心，则D₁O与平面ABCD所成的角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{6}$

Answer 1

分析 由D₁D⊥平面ABCD，得∠DOD₁是D₁O与平面ABCD所成的角（或所成角的补角），由此能求出D₁O与平面ABCD所成的角的余弦值．

解答 解：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为正方形ABCD的中心，
∵D₁D⊥平面ABCD，
∴∠DOD₁是D₁O与平面ABCD所成的角（或所成角的补角），
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为1，
则DO=$\frac{1}{2}\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，D₁O=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴cos∠DOD₁=$\frac{DO}{{D}_{1}O}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴D₁O与平面ABCD所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．