Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其左、右焦点分别为、，短轴长为，点在椭圆上，且满足的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆的方程；；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于A、B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M使恒为定值？若存在求出该定值及点M的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）存在这样的定点，使得。                                      

试题分析：（Ⅰ）       所以椭圆的方程为
4分
（Ⅱ）假设存在这样的定点，设，直线方程为
则
=
联立 消去得


令 即 ，
当轴时，令,仍有
所以存在这样的定点，使得           13分                                        
点评：中档题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，a,b,c,e的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。对于存在性问题，往往假定存在，条件存在的条件是否具备，而明确存在与否。本题应用韦达定理，结合向量数量积的坐标运算，简化了解题过程。