Question

已知{a_n}是一个单调递增的等差数列，且满足a₂a₄=21，a₁+a₅=10，数列{c_n}的前n项和为S_n=a_n+1（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=2ⁿ•c_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，利用条件求出a₃=5．结合a₂a₄=21，求出d，然后求解a_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出S_n=2n，通过c_n=S_n-S_n-1，推出c_n，表示出bn=2n+1，判断数列{b_n}是等比数列．然后求解前n项和．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，则依题知d＞0．
由2a₃=a₁+a₅=10，又可得a₃=5．
由a₂a₄=21，得（5-d）（5+d）=21，可得d=2．
所以a₁=a₃-2d=1．可得a_n=2n-1（n∈N*）…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得S_n=a_n+1=2n
当n≥2时，c_n=S_n-S_n-1=2n-2（n-1）=2
当n=1时，c₁=S₁=2满足上式，所以c_n=2（n∈N*）
所以bn=2n•cn=2n×2=2n+1，即bn=2n+1，
因为

bn+1

bn

=

2n+2

2n+1

=2，b₁=4
所以数列{b_n}是首项为4，公比为2的等比数列．
所以前n项和Tn=

4×(1-2n)

1-2

=2n+2-4…（12分）

点评：本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，等比数列的判定，数列求和的方法，考查计算能力．