Question

19．边长为2的等边△ABC的面积为$\sqrt{3}$，若D为BC的中点，点E满足$\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$，则$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{CB}$=-$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 ①根据三角形的面积公式即可求出等边△ABC的面积；
②画出图形，结合图形，表示出$\overrightarrow{DE}$，计算$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{CB}$的值．

解答 解：①边长为2的等边△ABC的面积为
S_△ABC=$\frac{1}{2}$•|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•sin60°=$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$；

②如图所示，D为BC的中点，点E满足$\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$，
∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{CB}$=（-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$）•$\overrightarrow{CB}$
=-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{CB}}^{2}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$
=-$\frac{1}{2}$×2²+$\frac{1}{3}$×2×2×cos60°
=-$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$，$-\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了三角形的面积公式与平面向量的数量积的应用问题，是基础题目．