Question

7．如图，点ABC都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{9}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 根据圆的切线和割线，利用切割线定理得到与圆有关的比例线段，代入已知线段的长度求出DB的长，根据三角形的两个角对应相等，得到两个三角形全等，对应线段成比例，得到要求的线段的长度．

解答 解：∵过点C的切线交AB的延长线于点D，
∴DC是圆的切线，DBA是圆的割线，
根据切割线定理得到DC²=DB•DA，
∵AB=5，CD=6，
∴36=DB（DB+5）
∴DB=4，
由题意知∠D=∠D，∠BCD=∠A
∴△DBC∽△DCA，
∴$\frac{DC}{DA}=\frac{BC}{CA}$
∴AC=$\frac{3×9}{6}$=4.5，
故选：B．

点评 本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形的相似的判定定理与性质定理，本题解题的关键是根据圆中的比例式，代入已知线段的长度求出未知的线段的长度，本题是一个基础题．