Question

10．函数f（x）=5$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{10-2x}$的最大值为（　　）

• A． $6\sqrt{3}$
• B． $5\sqrt{3}$
• C． $3\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{10-2x≥0}\end{array}\right.$，可得函数f（x）的定义域为[1，5]．f′（x）=$\frac{5\sqrt{10-2x}-2\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}\sqrt{10-2x}}$，令5$\sqrt{10-2x}$-2$\sqrt{x-1}$=0，解得x，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{10-2x≥0}\end{array}\right.$，解得1≤x≤5，∴函数f（x）的定义域为[1，5]．
f′（x）=$\frac{5}{2\sqrt{x-1}}$+$\frac{-1}{\sqrt{10-2x}}$=$\frac{5\sqrt{10-2x}-2\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}\sqrt{10-2x}}$，
令5$\sqrt{10-2x}$-2$\sqrt{x-1}$=0，解得x=$\frac{127}{27}$．
∴函数f（x）在$[1，\frac{127}{27}）$上单调递增，在$（\frac{127}{27}，5]$上单调递减．
可知：当x=$\frac{127}{27}$时，函数f（x）取得最大值=5$\sqrt{\frac{127}{27}-1}$+$\sqrt{10-2×\frac{127}{27}}$=6$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．