Question

15．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x²+y²=a²的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，O为坐标原点，若$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$），则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由题设知|EF|=b，|PF|=2b，|PF'|=2a，再由|PF|-|PF'|=2a，知b=2a，由此能求出双曲线的离心率．

解答 解：∵|OF|=c，|OE|=a，OE⊥EF，∴|EF|=b，
∵$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OP}$），则），∴|PF|=2b，|PF'|=2a，
∵|PF|-|PF'|=2a，∴b=2a，
e=$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}=\sqrt{5}$，
故选：C

点评 本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查双曲线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．