Question

5．在△ABC中，AB=2BC，∠B=120°．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e为$\frac{{-1+\sqrt{7}}}{3}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理求得丨AC丨，由椭圆的定义可知：丨AC丨+丨BC丨=2a，2c=2，由e=$\frac{c}{a}$，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：设丨AB丨=2丨BC丨=2，则丨AC丨²=丨AB丨²+丨BC丨²-2丨AB丨•丨BC丨•cosB=4+1-2×4×1×（-$\frac{1}{2}$）=7，
∴丨AC丨=$\sqrt{7}$，
∵以A、B为焦点的椭圆经过点C，
∴2a=$\sqrt{7}$+1，2c=2
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{7}+1}$=$\frac{{-1+\sqrt{7}}}{3}$，
故答案为：$\frac{{-1+\sqrt{7}}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查余弦定理，属于基础题．