Question

15．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，CA=CC₁=2CB，则直线BC₁与直线AB₁E夹角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 设CA=2，由条件及建立的空间直角坐标系，可求出点A，B，B₁，C₁几点的坐标，从而得到向量$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}$的坐标，由向量夹角余弦的坐标公式即可求出$cos＜\overrightarrow{B{C}_{1}}，\overrightarrow{A{B}_{1}}＞$，从而便得出直线BC₁与直线AB₁夹角的余弦值．

解答 解：设CA=2，根据条件可求以下几点坐标：
A（2，0，0），B₁（0，2，1），B（0，0，1），C₁（0，2，0）；
∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}=（0，2，-1），\overrightarrow{A{B}_{1}}=（-2，2，1）$；
∴cos$＜\overrightarrow{B{C}_{1}}，\overrightarrow{A{B}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{A{B}_{1}}}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}||\overrightarrow{A{B}_{1}}|}=\frac{3}{\sqrt{5}•3}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴直线BC₁与直线AB₁夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选：A．

点评 考查利用空间向量解决异面直线所成角问题的方法，能求空间点的坐标，由点的坐标求向量的坐标，向量夹角余弦的坐标公式，清楚两异面直线的方向向量的夹角和这两异面直线所成角的关系．