Question

20．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°；
②sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°；
③sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°；
④sin²（-30°）+cos²60°-sin（-30°）cos60°；
⑤sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos55°．
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广到一个三角恒等式，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）这是一个利用三角函数公式进行变换化简求值的问题，主要是抓住“角”之间的关系，联想借助降幂公式及逆用两角和与差的正余弦公式可求得结果；
（2）依据式子的结构特点、角之间的关系，可以得到形如“sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=C”的规律．然后利用和第（1）问类似的思路进行证明．

解答 解：（1）选择②式，计算如下：
sin²15°+cos²15°-sin15°cos 15°=1-$\frac{1}{2}$sin30°=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（2）解法一：
三角恒等式为sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．      …（4分）
证明如下：
sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）
=sin²α+（cos 30°cos α+sin30°sinα）²-sinα（cos 30°cos α+sin30°sinα）
=sin²α+$\frac{3}{4}$cos²α+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sinαcosα+$\frac{1}{4}$sin²α-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sinαcosα-$\frac{1}{2}$sin²α
=$\frac{3}{4}$sin²α+$\frac{3}{4}$cos²α=$\frac{3}{4}$…（12分）
解法二：
三角恒等式为sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．
证明如下：
sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）
=$\frac{1-cos2α}{2}+\frac{1+cos（60°-2α）}{2}$-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2α+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$（cos60°cos2α+sin60°sin2α）-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinαcosα-\frac{1}{2}si{n^2}α$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2α+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}cos2α+\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2α-\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2α-\frac{1}{4}（1-cos2α）$
=$1-\frac{1}{4}cos2α-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}cos2α=\frac{3}{4}$．

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．