Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-1，x＞1\\-2x+a，x≤1\end{array}$在R上满足：对任意x₁≠x₂，都有f（x₁）≠f（x₂），则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2]
• B． （-∞，-2]
• C． [2，+∞）
• D． [-2，+∞）

Answer 1

分析 由题意，对任意x₁，x₂∈R，当x₁≠x₂，都有f（x₁）≠f（x₂）成立，则函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-1，x＞1\\-2x+a，x≤1\end{array}$是R上的单调函数，从而求解．

解答 解：∵对任意x₁，x₂∈R，当x₁≠x₂，都有f（x₁）≠f（x₂）成立，
∴函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-1，x＞1\\-2x+a，x≤1\end{array}$是R上的单调函数，
∴由x＞1和x≤1时，函数均为减函数，
故当x=1时，-2x+a≥$\frac{1}{x}$-1，
即-2+a≥0，
∴a≥2；
即实数a的取值范围是[2，+∞）．
故选：C

点评 本题考查了对单调性的判断及分段函数的单调性的应用，属于难题．