Question

20．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）-f（x）＞0，对任意正数a、b，若a＜b，则af（a），bf（b）的大小关系为（　　）

• A． af（a）＜bf（b）
• B． af（a）=bf（b）
• C． af（a）≤bf（b）
• D． af（a）≥bf（b）

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，[x∈（0，+∞）]，利用导数研究其单调性，再利用不等式的性质即可得出．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，[x∈（0，+∞）]，
∵xf′（x）-f（x）＞0，
则g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0，
∴函数g（x）在x∈（0，+∞）单调递增，
∵a＜b，∴$\frac{f（a）}{a}$＜$\frac{f（b）}{b}$，
∴bf（a）＜af（b），
∴af（a）＜bf（a）＜af（b）＜bf（b）．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．