Question

15．设函数f（x）=log₂（x²-2x-8）的定义域为A，集合B={x|（x-1）（x-a）≤0}．
（Ⅰ）若a=-4，求A∩B；
（Ⅱ）若集合A∩B中恰有一个整数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的定义域确定出A，把a=-4代入B求出解集确定出B，求出A∩B即可；
（Ⅱ）根据集合A，分a＞4或a＜-2两种情况，根据A∩B中恰有一个整数确定出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=log₂（x²-2x-8）得：x²-2x-8＞0，
解得：x＜-2或x＞4，
∴A={x|x＜-2或x＞4}，
把a=-4代入B中得：（x-1）（x+4）≤0，
解得-4≤x≤1，即B={x|-4≤x≤1}，
则A∩B={x|-4≤x＜-2}；
（Ⅱ）当a＞4时，B={x|1≤x≤a}，
∴A∩B={x|4＜x≤a}，
若只有一个整数，则整数只能是5，
∴5≤a＜6；
当a＜-2时，B={x|a≤x≤1}，
∴A∩B={x|a≤x＜-2}，
若只有一个整数，则整数只能是-3，
∴-4＜a≤-3，
综上所述，实数a的取值范围是（-4，-3]∪[5，6）．

点评 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．