Question

6．已知四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 先画出四面体OABC，取棱OC中点E，连接DE，BE，可判断∠BDE便是异面直线BD与AC所成角，并容易求出$BD=BE=\frac{\sqrt{3}}{2}，DE=\frac{1}{2}$，这样便可得到cos∠BDE=$\frac{\frac{1}{2}DE}{BD}$．

解答 解：如图，取OC中点E，连接DE，BE；
∵D是棱OA的中点；
∴DE∥AC；
∴∠BDE或其补角为直线BD，AC所成角；
则在△BDE中，BD=BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，DE=$\frac{1}{2}$；
∴$cos∠BDE=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$；
∴∠BDE为异面直线BD，AC所成角，其余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 三角形中位线的性质，异面直线所成角的概念及求法，以及直角三角形边角的关系．