Question

14．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=$\sqrt{3}$，点F是PB的中点，点E在棱BC上移动．
（Ⅰ）当E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°？

Answer 1

分析 （Ⅰ）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．由线面平行的判定定理可以证出结论．用线面平行的判定定理证明时要注意把条件写全．
（Ⅱ）建立空间坐标系设点E（x，1，0），求出用E的坐标表示的平面PDE的法向量，由线面角的向量表示公式建立方程求出E的坐标．

解答 解：（Ⅰ）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，
∴EF∥PC．
又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．

（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（0，1，0），D（$\sqrt{3}$，0，0），
设BE=x（0≤x≤$\sqrt{3}$），则E（x，1，0），
设平面PDE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（p，q，1），
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}p-r=0\\（x-\sqrt{3}）p+q=0\end{array}\right.$，
令p=1，则$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$-x，$\sqrt{3}$）．
而$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），依题意PA与平面PDE所成角为45°，
所以sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}|}{\left|\overrightarrow{m}\right|•\left|\overrightarrow{AP}\right|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+（\sqrt{3}-x）^{2}+3}}$，
解得BE=x=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$或BE=x=$\sqrt{3}+\sqrt{2}$＞$\sqrt{3}$（舍）．
故BE=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$时，PA与平面PDE所成角为45°．

点评 考查用向量证明立体几何中的问题，此类题的做题步骤一般是先建立坐标系，设出坐标，用线的方向向量的内积为0证线线垂直，线面垂直，用线的方向向量与面的法向量的垂直证面面平行，两者的共线证明线面垂直．此处为一规律性较强的题，要注意梳理清楚思路．