Question

19．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量y（件）	90	84	83	80	75	68

（Ⅰ）求线性回归方程$\widehat{y}$=bx+a；
（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是3.5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）．
（参考公式与数据：$\sum_{i=1}^{6}$x_iy_i=4066，$\sum_{i=1}^{6}$x${\;}_{i}^{2}$=434.2，$\sum_{i=1}^{6}$x_i=51.$\sum_{i=1}^{6}$y_i=480.$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．）

Answer 1

分析 （I）利用最小二乘法，结合已知中的数据，求出b，a的值，即可求得回归直线方程；
（II）设工厂获得的利润为L元，建立利润关于单价的函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大．

解答 解：（I）∵$\sum_{i=1}^{6}$x_iy_i=4066，$\sum_{i=1}^{6}$x${\;}_{i}^{2}$=434.2，$\sum_{i=1}^{6}$x_i=51.$\sum_{i=1}^{6}$y_i=480．
∴$\overline{x}$=8.5，$\overline{y}$=80
∵b=$\frac{\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum _{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{4066-6×8.5×80}{434.2-6×{8.5}^{2}}$=-20，
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=80+20×8.5，
∴a=80+20×8.5=250
∴回归直线方程$\hat{y}$=-20x+250；
（II）设工厂获得的利润为L元，
则L=（x-3.5）（-20x+250）=-20（x-8）²+405，
∴该产品的单价应定为8元，工厂获得的利润最大，最大值为405元．

点评 本题主要考查回归分析，考查二次函数，考查运算能力、应用意识，属于中档题．