Question

16．已知f（x）的导数f′（x），且f（e^x）=x+e^2x，则f′（x）的最小值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先通过换元法求出函数f（x）的解析式，求出f（x）的导数，利用基本不等式求出最小值即可．

解答 解：令e^x=t，则x=lnt，（t＞0），
∴f（t）=lnt+t²，
∴f（x）=lnx+x²，（x＞0），
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x≥2$\sqrt{\frac{1}{x}•2x}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当2x=$\frac{1}{x}$即x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，“=”成立，
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查导数的应用，基本不等式的应用，是一道基础题．