Question

17．某商场在今年“十一”黄金周期间采取购物抽奖的方式促销（每人至多抽奖一次），设了金奖和银奖，奖券共2000张．在某一时段对30名顾客进行调查，其中有$\frac{2}{3}$的顾客没有得奖，而得奖的顾客中有$\frac{3}{5}$的顾客得银奖，若对这30名顾客随机采访3名顾客．
（1）求选取的3名顾客中至少有一人得金奖的概率；
（2）求选取的3名顾客中得金奖人数不多于得银奖人数的概率．

Answer 1

分析 （1）先求出个奖项的人数，再根据互斥事件的公式计算即可；
（2）设得金奖、银奖和不得奖的人数分别为x，y，z，得到选取的3名顾客中得金奖人数不多于得银奖人数可分解为下列两个互斥事件：B₀：x=0和B₁：x=1，y=1，z=1或x=1，y=2，z=0，分别求出P（B₀），P（B₁），问题得以解决．

解答 解：（1）依题意得，在接受采访的30人中，没有得奖的人数为$\frac{2}{3}×30=20$，得奖人数为10，得银奖人数为$\frac{3}{5}×10=6$，得金奖人数为4，
设三人中至少一人得金奖为事件A，则$P（\overline A）=\frac{{C_{26}^3}}{{C_{30}^3}}=\frac{130}{203}$，
∴$P（A）=1-P（\overline A）=1-\frac{130}{203}=\frac{73}{203}$，
（2）设得金奖、银奖和不得奖的人数分别为x，y，z，
∵x≤y，x+y+z=3，
∴选取的3名顾客中得金奖人数不多于得银奖人数可分解为下列两个互斥事件：B₀：x=0和B₁：x=1，y=1，z=1或x=1，y=2，z=0，
∴$P（{B_0}）=\frac{{C_{26}^3}}{{C_{30}^3}}=\frac{130}{203}$，P（B₁）=$\frac{{C}_{4}^{1}（{C}_{6}^{1}{C}_{20}^{1}+{C}_{6}^{2}）}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{27}{203}$，
∴$P（x≤y）=P（{B_0}）+P（{B_1}）=\frac{130}{203}+\frac{27}{203}=\frac{157}{203}$．

点评 本题考查了互斥事件的概率公式，以及古典概型的概率问题，关键是对于排列组合的应用，属于中档题．