Question

已知函数.其中.
（1）若曲线y＝f(x)与y=g(x)在x＝1处的切线相互平行,求两平行直线间的距离;
（2）若f(x)≤g(x)－1对任意x>0恒成立,求实数的值;
（3）当<0时，对于函数h(x)=f(x)－g(x)+1,记在h(x)图象上任取两点A、B连线的斜率为,若,求的取值范围.

Answer 1

（1） ；（2）2； （3）

试题分析：（1）因为曲线y＝f(x)与y=g(x)在x＝1处的切线相互平行，所以分别对这两个函数求导，可得导函数在x=1处的斜率相等，即可求出的值以及求出两条切线方程.再根据平行间的距离公式求出两切线的距离.
（2） 由f(x)≤g(x)－1对任意x>0恒成立，所以构造一个新的函数，在x>0时求出函数的最值符合条件即可得到的范围.
（3）根据（2）所得的结论当当<0时,由（2）知<0,∴h(x)在(0,＋∞)上是减函数，所以根据可以得到函数与变量的关系式，从而构造一个新的函数，得到的范围.
试题解析：（1）,依题意得: ="2;"
曲线y=f(x)在x=1处的切线为2x－y－2=0,
曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为2x－y－1=0.两直线间的距离为
（2）令h(x)=f(x)－g(x)+1, ,则
当≤0时, 注意到x>0, 所以<0, 所以h(x)在(0,+∞)单调递减,又h(1)=0,故0<x<1时,h(x)>0,即f(x)> g(x)-1,与题设矛盾.
当>0时,
当,当时,
所以h(x)在上是增函数,在上是减函数,
∴h(x)≤
因为h(1)＝0,又当≠2时,≠1,与不符.所以＝2. 
（3）当<0时,由（2）知<0,∴h(x)在(0,＋∞)上是减函数,
不妨设0<x₁≤x₂,则|h(x₁)－h(x₂)|＝h(x₁)－h(x₂),|x₁－x₂|＝x₂－x₁,
∴|h(x₁)－h(x₂)|≥|x₁－x₂|
等价于h(x₁)－h(x₂)≥x₂－x₁,即h(x₁)＋x₁≥h(x₂)＋x₂,令H(x)＝h(x)＋x＝lnx－x²＋x＋1,H(x)在(0,＋∞)上是减函数,
∵ (x>0),∴－2x²＋x＋≤0在x>0时恒成立,∴≤(2x²－x)_min又x>0时, (2x²－x)_min=
∴a≤－,又a<0,∴a的取值范围是.