Question

设f(x)＝ln(x²＋1)，g(x)＝x²－.
(1)求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间，并证明对[－1，1]上的任意x₁，x₂，x₃，都有F(x₁)＋F(x₂)>F(x₃)；
(2)将y＝f(x)的图像向下平移a(a>0)个单位，同时将y＝g(x)的图像向上平移b(b>0)个单位，使它们恰有四个交点，求的取值范围．

Answer 1

（1）在(－∞，－1)和(0，1)上单调递增，在(－1，0)和(1，＋∞)上单调递减，证明见解析（2）<<1＋ln 2

(1)F(x)＝ln(x²＋1)－x²－，
F′(x)＝.
F′(x)，F(x)的值随x值的变化如下表：

x	(－∞，－1)	(－1，0)	(0，1)	(1，＋∞)
F′(x)	＋	－	＋	－
F(x)	↗	↘	↗	↘

故F(x)在(－∞，－1)和(0，1)上单调递增，在(－1，0)和(1，＋∞)上单调递减，在[－1，1]上F(x)的最小值F(x)_min＝F(0)＝.
F(x)的最大值F(x)_max＝F(1)＝F(－1)＝ln 2.
因此F(x₁)＋F(x₂)≥2F(x)_min＝1，
而F(x₃)≤F(x)_max＝ln 2，
故F(x₁)＋F(x₂)>F(x₃)．
(2)由题意可知y＝ln(x²＋1)－a与y＝x²－＋b的图像恰有四个交点．
由ln(x²＋1)－a＝x²－＋b，
则a＋b＝ln(x²＋1)－x²＋.
令F(x)＝ln(x²＋1)－x²＋，
由(1)可知F(x)_极小值＝F(0)＝，F(x)_极大值＝F(1)＝ln 2.又F(4)＝F(－4)<0<F(0)，所以F(x)的大致图像如图所示，

图(1)
要使y＝a＋b与y＝F(x)恰有四个交点，则<a＋b<ln 2.
由
得到(b，a)的可行域为如图(2)所示的阴影部分．

图(2)
又可视为点P(－1，－1)与可行域内的点连线的斜率，
故<<1＋ln 2.