Question

已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x²－x.
(1)若关于x的方程f(x)＝－x＋b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
(2)证明：对任意的正整数n，不等式2＋＋＋…＋ >ln(n＋1)都成立．

Answer 1

(1) ln 3－1≤b<ln 2＋. (2)见解析

(1)f(x)＝ln(x＋1)－x²－x，由f(x)＝－x＋b，得ln(x＋1)－x²＋x－b＝0，
令φ(x)＝ln(x＋1)－x²＋x－b，则f(x)＝－x＋b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)＝0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，φ′(x)＝－2x＋＝ ，
当x∈[0，1)时，φ′(x)>0，于是φ(x)在[0，1)上单调递增；
当x∈(1，2]时，φ′(x)<0，于是φ(x)在(1，2]上单调递减．
依题意有 
解得ln 3－1≤b<ln 2＋.
(2)证明：方法一，f(x)＝ln(x＋1)－x²－x的定义域为{x|x>－1}，则有f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－(舍去)，
当－1<x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x>0时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
∴f(0)为f(x)在(－1，＋∞)上的最大值．
∴f(x)≤f(0)，故ln(x＋1)－x²－x≤0(当且仅当x＝0时，等号成立)．
对任意正整数n，取x＝>0得，ln<＋，
∴ln<.
故2＋＋…＋≥ln 2＋ln＋…＋ln ＝ln(n＋1)．
方法二，数学归纳法证明：
当n＝1时，左边＝＝2，右边＝ln(1＋1)＝ln 2，显然2>ln 2，不等式成立．
假设当n＝k(k∈N^*，k≥1)时，2＋>ln(k＋1)成立，
则当n＝k＋1时，有2＋＋ln(k＋1)．
做差比较：ln(k＋2)－ln(k＋1)－＝ln －＝ln－.
构建函数F(x)＝ln(1＋x)－x－x²，x∈(0，1)，
则F′(x)＝<0，
∴F(x)在(0，1)上单调递减，∴F(x)<F(0)＝0.
取x＝(k≥1，k∈N^*)，ln－<F(0)＝0.
即ln(k＋2)－ln(k＋1)－<0，
亦即＋ln(k＋1)>ln(k＋2)，
故n＝k＋1时，有2＋＋ln(k＋1)>ln(k＋2)，不等式也成立．
综上可知，对任意的正整数，不等式都成立．