Question

设f(x)＝＋xln x，g(x)＝x³－x²－3.
(1)如果存在x₁，x₂∈[0,2]使得g(x₁)－g(x₂)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
(2)如果对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

(1)4    (2) [1，＋∞)

解：(1)存在x₁，x₂∈[0,2]使得g(x₁)－g(x₂)≥M成立，等价于[g(x₁)－g(x₂)]_max≥M.
∵g(x)＝x³－x²－3，
∴g′(x)＝3x²－2x＝3x.
g(x)，g′(x)随x变化的情况如下表：

x	0				2
g′(x)	0	－	0	＋
g(x)	－3	?	极小值－	?	1

由上表可知，g(x)_min＝g＝－，g(x)_max＝g(2)＝1.
[g(x₁)－g(x₂)]_max＝g(x)_max－g(x)_min＝，所以满足条件的最大整数M＝4.
(2)对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，
等价于在区间上，函数f(x)_min≥g(x)_max.
由(1)可知，在区间上，g(x)的最大值g(2)＝1.
在区间上，f(x)＝＋xln x≥1恒成立．
等价于a≥x－x²ln x恒成立，
记h(x)＝x－x²ln x，
则h′(x)＝1－2xln x－x，h′(1)＝0.
当1<x<2时，h′(x)<0；当<x<1时，h′(x)>0，
即函数h(x)＝x－x²ln x在区间上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h(x)_max＝h(1)＝1，即实数a的取值范围是[1，＋∞)．