Question

如图，在椭圆

x2

a2

+

y2

8

=1（a＞0）中，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，B、D分别为椭圆的左、右顶点，A为椭圆在第一象限内的任意一点，直线AF₁交椭圆于另一点C，交y轴于点E，且点F₁、F₂三等分线段BD．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若四边形EBCF₂为平行四边形，求点C的坐标；
（Ⅲ）当S△AF1O=S△CEO时，求直线AC的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由已知得a=3c，b²=8，由此能求出a=3．
（II）由a=3，B（-3，0），F₁（-1，0），得F₁为BF₂的中点，由已知C，E关于F₁（-1，0）对称，设C（x₀，y₀），则-2-x₀=0，由此能求出点C的坐标．
（III）依题意直线AC的斜率存在，设直线AC：y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2 9 + y2 8 =1 y=k(x+1)

，得（8+9k²）x²+18k²x+9（k²-8）=0，由此能求出直线AC的方程．

解答： （本小题满分13分）
解：（I）∵F₁，F₂三等份BD，
∴|F1F2|=

1

3

|BD|，即2c=

1

3

•2a，a=3c…（1分）
∵a²=b²+c²，b²=8，∴a²=9，
∵a＞0，∴a=3．
（II）由（I）知a=3，B（-3，0），F₁（-1，0），
∴F₁为BF₂的中点，
∵四边形EBCF₂为平行四边形，
∴C，E关于F₁（-1，0）对称，
设C（x₀，y₀），则-2-x₀=0，解得x₀=-2，
∵

x 2 0

9

+

y 2 0

8

=1，∴

4

9

+

y02

8

=1，
解得y₀=±

2 10

3

，
∴C（-2，

2 10

3

）或C（-2，

2 10

3

）．
（III）依题意直线AC的斜率存在，
设直线AC：y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 9 + y2 8 =1 y=k(x+1)

，得（8+9k²）x²+18k²x+9（k²-8）=0，
x1+x2=-

18k2

8+9k2

，x1x2=

9(k2-8)

8+9k2

，
∵S△AF1O=S△CEO，
∴

1

2

|AF1|h=

1

2

|CE|h，（h表示原点O到直线AC的距离），
∴

1+k2

|x1+1|=

1+k2

|x2|，即|x1+1|=|x2|，
∴x2+x1=-1，…(10分)

∴x1+x2=- 18k2 8+9k2 =-1

，
∴k2=

8

9

，∴k=±

2 2

3

，，∴k=

2 2

3

，
∴直线AC的方程为y=

2 2

3

(x+1)．

点评：本题考查a的值的求法，考查点C的坐标的求法，考查直线AC的方程的求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．