Question

已知函数f（x）=

x+1，x≤0 lnx，x＞0

，则函数y=f[f（x）+1]的零点个数（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得，函数y=f[f（x）+1]=

f(x)+2 ， f(x)≤-1 ln[f(x)+1] ，f(x)＞-1

．再分①当x≤-2时、②当-2＜x≤0时、③当0＜x≤

1

e

时、④当x＞

1

e

时四种情况，分别求得函数的零点，从而得出结论．

解答： 解：由题意可得，函数y=f[f（x）+1]=

f(x)+2 ， f(x)≤-1 ln[f(x)+1] ，f(x)＞-1

．
①当x≤-2时，f（x）=x+1≤-1，f（x）+1≤0，函数y=f[f（x）+1]=f（x+2）=x+3，显然有一个零点为x=-3．
②当-2＜x≤0时，f（x）=x+1，f（x）+1＞0，函数y=f[f（x）+1]=ln[f（x）+1]=ln（x+2），显然有一个零点为x=-1．
③当0＜x≤

1

e

 时，f（x）=lnx≤-1，f（x）+1≤0，函数y=f[f（x）+1]=f[lnx+1]=lnx+2，显然有一个零点为x=

1

e2

．
④当x＞

1

e

时，f（x）=lnx＞-1，f（x）+1＞0，函数y=f[f（x）+1]=f[lnx+1]=ln[lnx+1]，显然有一个零点为x=1．
综上，函数y=f[f（x）+1]的零点个数为4，
故选：C．

点评：本题主要考查函数的零点的定义以及个数判断，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．