Question

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x²－y²＝1.

(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点．若|MF|＝2，求点M的坐标；

(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；

(3)设斜率为k(|k|＜)的直线l交C于P，Q两点．若l与圆x²＋y²＝1相切，求证：OP⊥OQ.

Answer 1

 (1)解析：双曲线C：－y²＝1，左焦点F，设M(x，y)，则|MF|²＝²＋y²＝²，由点M是右支上一点知，x≥，所以|MF|＝x＋＝2，得x＝，所以M.

(2)解析：左顶点A，渐近线方程：y＝±x.

过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为y＝，即y＝x＋1.

解方程组

所以所求平行四边形的面积为S＝|OA||y|＝.

(3)证明：设直线PQ的方程是y＝kx＋b，因直线PQ与已知圆相切，故＝1，即b²＝k²＋1.(*)

由得(2－k²)x²－2kbx－b²－1＝0.

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则

又y₁y₂＝(kx₁＋b)(kx₂＋b)，所以

·＝x₁x₂＋y₁y₂＝(1＋k²)x₁x₂＋kb(x₁＋x₂)＋b²

＝＋

由(*)知，·＝0，所以OP⊥OQ.