已知数列{an}满足${a 1}=\frac{1}{2}$.${a {n+1}}=\frac{{2{a n}}}{{1+{a n}}}.n∈{N^*}$．(I)求证:数列$\left\{{\frac{1}{a n}-1}\right\}$是等比数列.并求数列{an}的通项公式,(II)令bn=$\frac{n}{{a} {n}}$.(n∈N*).设数列{bn}的前n项和为Sn.求证:� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

9．已知数列{a_n}满足${a_1}=\frac{1}{2}$，${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{1+{a_n}}}，n∈{N^*}$．
（I）求证：数列$\left\{{\frac{1}{a_n}-1}\right\}$是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）令b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，（n∈N^*），设数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：当n≥3时，S_n＞$\frac{{n}^{2}}{2}$+4．

分析（I）通过对${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{1+{a_n}}}，n∈{N^*}$取倒数、变形可知a_n＞0、$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），进而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是首项为1、公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，利用等比数列通项公式计算即得结论；
（II）通过（I）可知b_n=n+n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，进而利用分组求和法、错位相减法计算可知S_n=$\frac{{n}^{2}}{2}$+4+$\frac{n•{2}^{n-1}-2n-4}{{2}^{n}}$，当n≥3时放缩即得结论．

解答证明：（I）由题意知a_n＞0，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1+{a}_{n}}{2{a}_{n}}$-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
又因为$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=1，
所以数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是首项为1、公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
所以$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，故$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，a_n=$\frac{{2}^{n-1}}{1+{2}^{n-1}}$；
（II）由（I）可知b_n=n+n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
则S_n=（1+2+3+…+n）+（1•$\frac{1}{{2}^{0}}$+2•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）
=$\frac{n（n+1）}{2}$+（1•$\frac{1}{{2}^{0}}$+2•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$），
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{n（n+1）}{4}$+[1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$]，
两式相减，得：$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{n（n+1）}{4}$+（$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\frac{n（n+1）}{4}$+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{n（n+1）}{4}$+2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
所以S_n=$\frac{{n}^{2}}{2}$+4+$\frac{n•{2}^{n-1}-2n-4}{{2}^{n}}$，
当n≥3时，n•2^n-1-2n-4≥n•2²-2n-4＞0，
所以S_n＞$\frac{{n}^{2}}{2}$+4．

点评本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

19．

如图所示，在棱长为 6的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别是棱C₁D₁，B₁C₁的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为（　　）

A．

$18+3\sqrt{2}$

B．

$6\sqrt{13}+3\sqrt{2}$

C．

$6\sqrt{5}+9\sqrt{2}$

D．

$10+3\sqrt{2}+4\sqrt{10}$

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，其中A、B、ω、φ均为实数，且A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，写出满足f（1）=2，$f（2）=\frac{1}{2}$，f（3）=-1，f（4）=2的一个函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}$x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$（写出一个即可）

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

17．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在区间[1，2]上为增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a=-e时，证明：f（x）+2≤0；
（Ⅲ）当a=-e时，试判断方程|f（x）|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$是否有实数解，并说明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

4．在△ABC中，a²=b²+c²-bc，则A等于（　　）

A．

45°

B．

120°

C．

60°