Question

17．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在区间[1，2]上为增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a=-e时，证明：f（x）+2≤0；
（Ⅲ）当a=-e时，试判断方程|f（x）|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$是否有实数解，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，分离出a，结合函数的单调性求出a的范围即可；
（Ⅱ）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最大值，证出结论；
（Ⅲ）求出|f（x）|≥2，令g（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$，求出g（x）的最大值小于|f（x）|的最小值，从而判断无解．

解答 解：函数f（x）定义域x∈（0，+∞），f′（x）=a+$\frac{1}{x}$，
（Ⅰ）因为f（x）在区间[1，2]上为增函数，
所以f′（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，
即f′（x）=a+$\frac{1}{x}$≥0，a≥-$\frac{1}{x}$在x∈[1，2]上恒成立，则a≥-$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）当a=-e时，f（x）=-ex+lnx，f′（x）=$\frac{-ex+1}{x}$．
令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$，
令f′（x）＞0，得x∈（0，$\frac{1}{e}$），所以函数f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）单调递增．
令f′（x）＜0，得x∈（$\frac{1}{e}$，+∞），所以函数f（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）单调递减．
所以，f（x）_max=f（$\frac{1}{e}$）=-e•$\frac{1}{e}$+ln$\frac{1}{e}$=-2，
所以f（x）+2≤0成立．         
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）_max=-2，所以|f（x）|≥2，
设g（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$，x∈（0，+∞），
所以g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令g'（x）=0，得x=e．
令g'（x）＞0，得x∈（0，e），
所以函数g（x）在（0，e）单调递增，
令g'（x）＜0，得x∈（e，+∞），
所以函数g（x）在（e，+∞）单调递减；
所以，g（x）_max=g（e）=$\frac{lne}{e}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{e}$+$\frac{3}{2}$＜2，即g（x）＜2．
所以|f（x）|＞g（x），即|f（x）|＞$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$，
所以，方程|f（x）|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$没有实数解．

点评 本题考查了函数的单调性最值问题，考查导数的应用、函数恒成立问题，是一道综合题．