Question

11．已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于S，T两点，以P（3，0）为圆心的圆过点S，T，且∠SPT=90°
（Ⅰ）求抛物线E和圆P的方程；
（Ⅱ）设M是圆P上的点，过点M且垂直于FM的直线l交E于A，B两点，证明：FA⊥FB．

Answer 1

分析 （I）求出S点坐标，根据|SF|=|PF|列方程解出p即可得出抛物线方程和圆的半径；
（II）设M（x₀，y₀），根据$\overrightarrow{FM}⊥\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{MA}∥\overrightarrow{MB}$，列方程得出A，B的坐标与M点坐标的关系，计算$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$并化简即可得出$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=0．

解答 解：（Ⅰ）将x=$\frac{p}{2}$代入y²=2px，得y=±p，所以|ST|=2p，
又∵∠SPT=90°，∴△SPT是等腰直角三角形，
∴|SF|=|PF|，即p=|3-$\frac{p}{2}$|，解得p=2，
∴抛物线方程为y²=4x，
此时圆P的半径为$\sqrt{2}$p=2$\sqrt{2}$，
∴圆P的方程为（x-3）²+y²=8．
（Ⅱ）设M（x₀，y₀），则（x₀-3）²+y₀²=8，即y₀²=-x₀²+6x₀-1，（*） 
设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），则$\overrightarrow{FM}$=（x₀-1，y₀），$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₂-y₁），
$\overrightarrow{MA}$=（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-{x}_{0}$，y₁-y₀），$\overrightarrow{MB}$=（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$-x₀，y₂-y₀），
∵$\overrightarrow{FM}⊥\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{MA}∥\overrightarrow{MB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{4}（{x}_{0}-1）+{y}_{0}（{y}_{2}-{y}_{1}）=0}\\{（\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-{x}_{0}）（{y}_{2}-{y}_{0}）-（\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}-{x}_{0}）（{y}_{1}-{y}_{0}）=0}\end{array}\right.$，
∵y₁≠y₂，∴$\left\{\begin{array}{l}{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{x}_{0}-1）+4{y}_{0}=0}\\{{y}_{1}{y}_{2}-{y}_{0}（{y}_{1}+{y}_{2}）+4{x}_{0}=0}\end{array}\right.$，
若x₀=1，则y₀=0，此时不满足（*），故x₀-1≠0，
∴y₁+y₂=$\frac{4{y}_{0}}{1-{x}_{0}}$，y₁y₂=$\frac{20{x}_{0}-4}{1-{x}_{0}}$．
∴$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-1$）（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$-1）+y₁y₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{16}-$$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{4}$+1+$\frac{3}{2}{y}_{1}{y}_{2}$
=$\frac{（5{x}_{0}-1）^{2}}{（1-{x}_{0}）^{2}}$-$\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{（1-{x}_{0}）^{2}}$+1+$\frac{30{x}_{0}-6}{1-{x}_{0}}$
=$\frac{24{x}_{0}-4{{x}_{0}}^{2}-4-4{{y}_{0}}^{2}}{（1-{x}_{0}）^{2}}$=$\frac{-4（{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-6{x}_{0}+1）}{（1-{x}_{0}）^{2}}$=0．
∴AF⊥BF．

点评 本题考查圆与抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．