Question

2．已知函数f（x）=x³-ax²+bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求导数得到f′（x）=3x²-2ax+b，这样根据切点在曲线上，以及函数在切点处的导数即此处切线的斜率便可建立关于a，b的方程组，解方程组得出a=-9，b=-21；
（2）解f′（x）=0即可得出x=-7，或1，这样便可判断导数f′（x）在x＜-7，-7＜x＜1，及x＞1时的符号，从而便可判断f（x）是否取到极值，并求出极值．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-2ax+b；
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3-2a+b=-12}\\{-11=1-a+b}\end{array}\right.$；
解得a=3，b=-9；
（2）f（x）=x³-3x²-9x，f′（x）=3x²-6x-9；
∴解f′（x）=0得，x=3或-1；
∴x＜-1时，f′（x）＞0，-1＜x＜3时，f′（x）＜0，x＞3时，f′（x）＞0；
∴x=-1时，f（x）有极大值5，x=3时，f（x）有极小值-27；
即函数f（x）的极值为5和-27．

点评 考查切点在函数图象上，从而切点的坐标满足函数解析式，以及函数在切点处的导数为切线的斜率，函数极值的概念以及根据导数符号求函数极值的方法和过程．