Question

10．设函数$f（x）=2lnx-\frac{1}{2}m{x^2}-nx$，若x=2是f（x）的极大值点，则m的取值范围为（　　）

• A． $（{-\frac{1}{2}，+∞}）$
• B． $（{-\frac{1}{2}，0}）$
• C． （0，+∞）
• D． $（{-∞，-\frac{1}{2}}）∪（{0，+∞}）$

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，此题需分m≥0和m＜0两种情况讨论，从而求出m的范围即可．

解答 解：f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2}{x}$-mx-n，
由f′（2）=0，得n=1-2m．
∴f′（x）=$\frac{2}{x}$-mx+2m-1=-$\frac{（mx+1）（x-2）}{x}$．
当m≥0时，f′（x）=$\frac{2-x}{x}$，可得x=2是f（x）的极大值点，符合题意．
当m＜0时，由f′（x）=0，得x=2或x=-$\frac{1}{m}$．
∵x=1是f（x）的极大值点，
∴-$\frac{1}{m}$＞2，解得-$\frac{1}{2}$＜a＜0．
综上：a的取值范围是：m＞-$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、函数零点与函数单调性的关系，考查了分类讨论的思想方法．