Question

1．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各个顶点与各楞的中点共20个，任取2点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线BD₁垂直的概率为（　　）

• A． $\frac{21}{190}$
• B． $\frac{21}{166}$
• C． $\frac{27}{166}$
• D． $\frac{27}{154}$

Answer 1

分析 如图，易证明BD₁⊥正六边形EFGHIJ，此时在正六边形上有C${C}_{6}^{2}$条直线与直线BD₁垂直．与直线BD₁垂直的平面还有平面ACB、平面NPQ、平面KLM、平面A₁C₁B，共有直线4×${C}_{3}^{2}$条，而所有的直线共有${C}_{20}^{2}$条，从而求得任取一条，它与对角线BD₁垂直的概率．

解答 解：如图，E，F，G，H，I，J，K，L，M，N，P，Q分别为相应棱上的中点，
容易证明BD₁⊥正六边形EFGHIJ
此时在正六边形上有${C}_{6}^{2}$条直线与直线BD₁垂直．
与直线BD₁垂直的平面还有平面ACB、平面NPQ、平面KLM、平面A₁C₁B，
共有直线4×${C}_{3}^{2}$条．
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各个顶点与各棱的中点共20个点，
任取2点连成直线数为${C}_{20}^{2}$条直线
（每条棱上如直线AE，ED，AD其实为一条），
故对角线BD₁垂直的概率为$\frac{15+12}{166}$．
故答案为：$\frac{27}{166}$．

点评 本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题