Question

设函数g（x）=3^x，h（x）=9^x．
（1）解方程：h（x）-8g（x）-h（1）=0；
（2）令p（x）=

g(x)

g(x)+ 3

，求证：p（

1

2014

）+p（

2

2014

）+…+p（

2013

2014

）=

2013

2

；
（3）若f（x）=

g(x+1)+a

g(x)+b

是实数集R上的奇函数，且f（h（x）-1）+f（2-k•g（x））＞0对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知条件推导出9^x-8•3^x-9=0，由此能求出原方程的解．
（2）由已知条件推导出ρ（

1007

2014

）=

1

2

，ρ（x）+ρ（1-x）=1，由此能证明ρ（

1

2014

）+ρ（

2

2014

）+…+ρ（

2013

2014

）=

2013

2

．
（3）由已知条件推导出a=-3，b=1．由此利用已知条件能求出实数k的取值范围．

解答： （1）解：∵g（x）=3^x，h（x）=9^x．
h（x）-8g（x）-h（1）=0，
∴9^x-8•3^x-9=0，解得3^x=9，x=2．
（2）证明：ρ（

1007

2014

）=ρ（

1

2

）=

3

2 3

=

1

2

．
∵ρ（x）+ρ（1-x）=

3x

3x+ 3

+

31-x

31-x+ 3

=

3x

3x+ 3

+

3

3x+ 3

=1，
∴ρ（

1

2014

）+ρ（

2

2014

）+…+ρ（

2013

2014

）=1006+

1

2

=

2013

2

．
（3）解：∵f（x）=

ϕ(x+1)+a

ϕ(x)+b

是实数集上的奇函数，
∴a=-3，b=1．f（x）=3（1-

2

3x+1

），f（x）在实数集上单调递增．
由f（h（x）-1）+f（2-k•g（x））＞0，
得f（h（x）-1）＞-f（2-k•g（x）），
又∵f（x）是实数集上的奇函数，
∴f（h（x）-1）＞f（k•g（x）-2），
又∵f（x）在实数集上单调递增，∴h（x）-1＞k•g（x）-2，
即3^2x-1＞k•3^x-2对任意的x∈R都成立，
即k＜3^x+

1

3x

对任意的x∈R都成立，k＜2．

点评：本题考查方程的解法，考查等式的证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．