Question

17．如图，在四棱锥B-ACDE中，底面ACDE是直角梯形，AC垂直于AE和CD，BA⊥底面ACDE，且AB=AC=DC=1，EA=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求证：平面BCD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求平面BDE与平面ABC所成二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AD⊥BC，C₁C⊥AD，由此能证明平面BCD⊥平面ABC．
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BDE与平面ABC所成二面角的平面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵D是BC的中点，∴AD⊥BC，
又CC₁⊥面ABC，∴C₁C⊥AD，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
∴平面BCD⊥平面ABC．
解：（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=AC=DC=1，EA=$\frac{1}{2}$，
∴B（1，0，0），D（0，1，1），E（0，0，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{EB}$=（1，0，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{ED}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），
设平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=x-\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
又平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴平面BDE与平面ABC所成二面角的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．