Question

12．如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=$\frac{π}{2}$．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=$\sqrt{2}$，CE=2EB=2
（1）证明：DE⊥平面PCD
（2）求二面角B-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由PC⊥平面ABC，得PC⊥DE，CD⊥DE，由此能证明DE⊥平面PCD．
（2）以C为坐标原点，分别以$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CP}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PD-C的余弦值．

解答 证明：（1）由PC⊥平面ABC，DE?平面ABC，故PC⊥DE，
由CE=2，CD=DE=$\sqrt{2}$，得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE，
由PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，
故DE⊥平面PCD．
解：（2）以C为坐标原点，分别以$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CP}$的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0，），P（0，0，3），B（0，3，0），E（0，2，0），D（1，1，0），
$\overrightarrow{DE}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{DP}$=（-1，-1，3），$\overrightarrow{DB}$=（-1，2，0），
设平面PAD的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DB}=-x+2y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DP}=-x-y+3z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，1），
由（1）知DE⊥平面PCD，故$\overrightarrow{DE}$=（-1，1，0）是平面PCD的法向量，
从而法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{DE}$的夹角的余弦值为cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{DE}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{DE}|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
故所求二面角B-PD-C的余弦值为-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．