Question

18．已知椭圆C的中心在坐标原点，其一个焦点为（0，$\sqrt{3}$），椭圆C上的任意一点到其两个焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线y=kx+1与椭圆C交于A、B两点，当OA⊥OB时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义可得a，再利用c=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²即可得出．
（2）直线方程与椭圆方程联立化为（k²+4）x²+2kx-3=0，由OA⊥OB得 $\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，把根与系数的关系代入即可得出．

解答 解：（1）依题意设椭圆C方程为：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
则由焦点为$（0，\sqrt{3}）$得 $c=\sqrt{3}$，∴a²-b²=3，
椭圆C上的任意一点到其两个焦点的距离之和为2a=4，
∴a=2，
将a=2代入a²-b²=3得：b=1．
∴椭圆C的方程为：$\frac{y^2}{4}+{x^2}=1$．
（2）联立方程$\left\{\begin{array}{l}\frac{y^2}{4}+{x^2}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$，化为（k²+4）x²+2kx-3=0，
设A、B两点坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=-\frac{2k}{{{k^2}+4}}$，${x_1}•{x_2}=-\frac{3}{{{k^2}+4}}$，
∴${y_1}•{y_2}=（k{x_1}+1）•（k{x_2}+1）={k^2}{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）+1$=$\frac{{4-4{k^2}}}{{{k^2}+4}}$．
由OA⊥OB得 $\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即$-\frac{3}{{{k^2}+4}}$+$\frac{{4-4{k^2}}}{{{k^2}+4}}$=0，
解得$k=±\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．