Question

8．设定义在R上的偶函数f（x），满足对任意x∈R都有f（t）=f（2-t）且x∈（0，1]时，f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，a=f（$\frac{2015}{3}$），b=f（$\frac{2016}{5}$），c=f（$\frac{2017}{7}$），用“＜“表示a，b，c的大小关系是c＜a＜b．

Answer 1

分析 由已知得f（2+t）=f（2-2-t）=f（-t）=f（t），求出函数的周期性，结合函数f（x）在[0，1]的表达式求出f（x）的单调性，从而比较a，b，c的大小即可．

解答 解：∵定义在R上的偶函数y=f（x），满足对任意t∈R都有f（t）=f（2-t），
∴f（2+t）=f（2-2-t）=f（-t）=f（t），
∴f（x）是以2为周期的函数，
∵x∈[0，1]时，f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$≥0在[0，1]恒成立，
故f（x）在[0，1]递增，
由a=f（$\frac{2015}{3}$）=f（1+$\frac{2}{3}$）=f（-$\frac{1}{3}$）=f（$\frac{1}{3}$），
b=f（$\frac{2016}{5}$）=f（1+$\frac{1}{5}$）=f（-$\frac{4}{5}$）=f（$\frac{4}{5}$），
c=f（$\frac{2017}{7}$）=f（$\frac{1}{7}$），
∴c＜a＜b，
故答案为：c＜a＜b．

点评 本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．