Question

13．已知函数f（x）=sin²x-$\frac{1}{2}$，g（x）=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}-\frac{1}{2}$sin2x．
（Ⅰ）求函数f（x）与g（x）图象交点的横坐标；
（Ⅱ）若函数φ（x）=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$-f（x）-g（x），将函数φ（x）图象上的点纵坐标不变，横坐标扩大为原来的4倍，再将所得函数图象向右平移$\frac{5π}{6}$个单位，得到函数h（x），求h（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数f（x）=g（x），利用三角恒等变换求得 $sin2x-cos2x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即 $sin（2x-\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，由此求得函数f（x）与g（x）图象交点的横坐标x的值．
（Ⅱ）由题意，$φ（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知：f（x）=g（x），即  ${sin^2}x-\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}-\frac{1}{2}sin2x$，
∴$\frac{1-cos2x}{2}-\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}-\frac{1}{2}sin2x$，即$sin2x-cos2x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
∴$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$sin（2x-\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，∴$2x-\frac{π}{4}=\frac{π}{6}+2kπ$或$\frac{5π}{6}+2kπ$，k∈Z，
∴$x=\frac{5π}{24}+kπ$或x=$\frac{13π}{24}+kπ$，k∈Z，
即函数f（x）与g（x）图象交点的横坐标为$x=\frac{5π}{24}+kπ$或x=$\frac{13π}{24}+kπ$，k∈Z．
（Ⅱ）由题意，$φ（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
将函数φ（x）图象上的点纵坐标不变，横坐标扩大为原来的4倍，得到函数$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{4}）$，
再将所得函数图象向右平移$\frac{5π}{6}$个单位，得到函数$h（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin[\frac{1}{2}（x-\frac{5π}{6}）+\frac{π}{4}]$ 的图象，即$h（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}）$．
令$2kπ-\frac{π}{2}≤\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，即$4kπ-\frac{2π}{3}≤x≤4kπ+\frac{4π}{3}，k∈Z$，
函数h（x）的单调递增区间为$[4kπ-\frac{2π}{3}，4kπ+\frac{4π}{3}]（k∈Z）$．

点评 本题主要考查三角恒等变换、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．