Question

3．已知命题p：函数y=2${\;}^{{x}^{2}-2ax}$在x∈[1，+∞）上为增函数；命题q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x∈R恒成立，若p∨q是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题的真假关系进行求解即可．

解答 解：命题p为真时，函数y=x²-2ax在x∈[1，+∞）为增函数，故对称轴x=-$\frac{-2a}{2}$=a≤1，
从而命题p为假时，a＞1．…..（2分）
若命题q为真，当a-2=0，即a=2时，-4＜0符合题意．…..（4分）
当a≠2时，有$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{△=4（a-2）^{2}+4×4（a-2）＜0}\end{array}\right.$…..（6分）
即-2＜a＜2．
故命题q为真时：-2＜a≤2；q为假时：a≤-2或a＞2．…．（8分）
若p∨q为假命题，则命题p，q同时为假命题．
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤-2或a＞2}\end{array}\right.$，所以a＞2．…．（10分）
∴p∨q为真命题时：a≤2．…（12分）

点评 本题主要考查复合命题的真假应用，根据函数的性质分别求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．