Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+1）^{2}（-1≤x≤0）}\\{\sqrt{1-{x}^{2}}（0＜x≤1）}\end{array}\right.$，则${∫}_{-1}^{1}$f（x）dx=$\frac{1}{3}$+$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 根据函数积分的公式以及积分的几何意义进行求解即可．

解答 解：${∫}_{-1}^{1}$f（x）dx=∫${\;}_{-1}^{0}$（x+1）²dx+∫${\;}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=∫${\;}_{-1}^{0}$（x²+2x+1）dx+∫${\;}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx
∫${\;}_{-1}^{0}$（x²+2x+1）dx=（$\frac{1}{3}$x³+x²+x）|${\;}_{-1}^{0}$=0-（$-\frac{1}{3}$+1-1）=$\frac{1}{3}$，
∫${\;}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx的几何意义是圆x²+y²=1，（0＜x≤1，y≥0）的面积S=$\frac{1}{4}×π×{1}^{2}$=$\frac{π}{4}$，
则${∫}_{-1}^{1}$f（x）dx=$\frac{1}{3}$+$\frac{π}{4}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$+$\frac{π}{4}$

点评 本题主要考查函数积分的计算，根据分段函数的积分公式以及积分的几何意义是解决本题的关键．