Question

已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点，过点的直线与椭圆相交于不同的两点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存直线，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】本试题主要考查了椭圆的方程和性质的和运用。第一问中，利用待定系数法求解椭圆的标准方程即可。结合椭圆的离心率为，且经过点可得

（2）中假设存在直线满足条件，由题意可设直线的方程为，联立方程组

结合韦达定理可知且，即，

所以 ，解得.

因为，解得．

所以最终得到k=1/2.

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意得

解得，，故椭圆的方程为．  ……………………5分

（Ⅱ）若存在直线满足条件，由题意可设直线的方程为，

由得.

因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为，

所以.

整理得.

解得．

又，，

且，即，

所以 .  即 .

所以 ，解得.

所以．于是存在直线满足条件，其的方程为.   ………………13分