Question

【题目】如下图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为， ，已知点和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设， 是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行， 与交于点，

（i）若，求直线的斜率；

（ii）求证： 是定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值

【解析】试题分析： 根据椭圆的性质和已知和，都在椭圆上列式求解即可得到椭圆的方程；

①设直线的方程为，直线的方程为，与椭圆方程联立，求出，根据已知条件，用待定系数法求解

②利用直线与平行，点在椭圆上知 ， ，由此可以求得是定值

解析：（1）由题设知， .由点在椭圆上，得.

解得，于是，又点在椭圆上，所以.

即，解得.因此，所求椭圆的方程是.

（2）由（1）知， ，又直线与平行，所以可设直线的方程为，直线的方程为.设， ， ， ，由得，解得.

故 ①

同理， ②

（i）由①②得 解得.

因为，故，所以直线的斜率为.

（ii）因为直线与平行，所以，于是，

故.由点在椭圆上知.

从而 .同理 ，因此 .

又由①②知， .

所以.因此是定值.