Question

如图，在平面四边形ABCD中，已知,,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC，设点F为棱AD的中点．

（1）求证：DC平面ABC；
（2）求直线与平面ACD所成角的余弦值．

Answer 1

（1）见解析；（2）.

试题分析：（1）要证DC平面ABC，则需证DC垂直平面ABC内的两条相交直线，需证AB⊥CD，CD⊥BC，可得结论；（2）求直线与面所成的角，需过直线上一点（异于与面的交点）向面作垂线，此题根据已知条件在面ABC内过点B向AC作垂线BE，再证BE与面ADC垂直，即可找出直线BF与面ACD所成的角，最后在角所在的三角形中求解.
试题解析：（1）证明：在图甲中∵且 ∴ ,，即
在图乙中，∵平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDC＝BD，∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．

又，∴DC⊥BC,且 ∴DC平面ABC．          7分
（2）解：作BE⊥AC，垂足为E，
由（1）知平面ABC⊥平面ACD，又平面ABC平面ACD=AC，∴BF⊥平面ADC，
∴即为直线与平面ACD所成角
设得AB=，AC=
∴，，  ∴，
∴直线与平面ACD所成角的余弦值为.  ..14分