Question

4．f（x）=sin²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=1，△ABC的面积为3$\sqrt{3}$，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由复合函数的单调性求得f（x）的单调递减区间；
（2）由f（$\frac{A}{2}$）=1求得A，再由△ABC的面积为3$\sqrt{3}$可得bc=12，由余弦定理及基本不等式求得a的最小值．

解答 解：（1）f（x）=sin²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x=sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
令$2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，解得$kπ+\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间为[$kπ+\frac{π}{3}，kπ+\frac{5π}{6}$]，（k∈Z）．
（2）∵f（$\frac{A}{2}$）=$sin（A-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$=1，
∴$sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，得A=$\frac{π}{3}$．
又∵$\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}=3\sqrt{3}$，∴bc=12，
∵a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥bc=12，
∴$a≥2\sqrt{3}$．（当且仅当b=c=2$\sqrt{3}$时取“=”）．
∴a的最小值是$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形的解法，考查了余弦定理的应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．