Question

【题目】已知正三棱柱ABC﹣A′B′C′如图所示，其中G是BC的中点，D，E分别在线段AG，A′C上运动，使得DE∥平面BCC′B′，CC′=2BC=4．
（1）求二面角A′﹣B′C﹣C′的余弦值；
（2）求线段DE的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，

∵ABC﹣A′B′C′为正三棱柱，G是BC的中点，

∴AG⊥平面BCC′B′，以GB所在直线为x轴，以过G且垂直于BG的直线为y轴，以GA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则G（0，0，0），A（0，0， ），C（﹣1，0，0），B′（1，4，0），A′（0，4， ），

=（1，4， ）， ，

平面B′CC′的一个法向量为 ，

设平面A′B′C的一个法向量为 ，

由 ，取y=1，得x=﹣2，z= ．

∴ ，

∴cos＜ ＞= = = ．

∴二面角A′﹣B′C﹣C′的余弦值为 ；

（2）设D（0，0，t）（0≤t≤ ），E（x，y，z），

则 ，∴（x+1，y，z）=（λ，4λ， ），即x=λ﹣1，y=4λ，z= ．

∴E（λ﹣1，4λ， ）， =（λ﹣1，4λ， ），

由DE∥平面BCC′B′，得 ，得λ= ．

∴ = ，

当t= 时， 有最小值 ，

∴线段DE的最小值为 ．

【解析】（1）由题意画出图形，以GB所在直线为x轴，以过G且垂直于BG的直线为y轴，以GA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面B′CC′与平面A′B′C的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得二面角A′﹣B′C﹣C′的余弦值；（2）设D（0，0，t）（0≤t≤ ），E（x，y，z），由 ，结合DE∥平面BCC′B′把λ用含有t的代数式表示，然后求出 的最小值得答案．