Question

已知f(x)=x³-3x，若m²-4n＞0，m，n∈R，求证：“2|m|+|n|＜4”是“方程[f(x)]²+mf(x)+n=0在区间(-1，1)内有两个不等的实根”的充分不必要条件．

Answer 1

解：由f(x)=x³-3x得f′(x)=3(x²-1)，对x∈(-1，1)有f′(x)＜0，故f(x)在(-1，1)上是减函数，得f(x)∈(-2，2)． 

于是“方程[f(x)]²+mf(x)+n=0在区间(-1，1)内有两个不等的实根”等价于“方程g(t)=t²+mt+n=0在区间(-2，2)内有两个不等的实根”． 

所以“方程[f(x)]²+mf(x)+n=0在区间(-1，1)内有两个不等的实根”等价于

   

下面先证明充分性：由2|m|+|n|＜4得|m|＜4-2＜＜2，

且4＞±2m-n，即g(±2)＞0．

所以充分性成立． 

下面再证不必要性：取m=2,n=,显然满足

但是2|m|+|n|＜4不成立，

即得不必要性成立．

综合以上得命题成立．