Question

已知等式cosα•cos2α=

sin4α

4sinα

，cos•cos2α•cos4α=

sin8α

8sinα

，…．
（1）请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知等式；
（2）试用数学归纳法证明你写出的等式．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）分析两边三角的函数名称及各个角的构成及关系，进行归纳写出即可；
（2）利用数学归纳法的证明步骤，验证n=1时成立，假设n=k是成立，证明n=k+1时等式也成立即可．

解答： （1）解：cosα•cos2α•…•cos 2^n-1α=

sin2nα

2nsinα

n∈N，n≥2（n换成其他字母也对）．
（2）证明：当n=2时，显然成立．
假设当n=k时，cosα•cos2α…cos2^k-1α=

sin2kα

2ksinα

成立，
那么，当n=k+1时，
cosα•cos2α…cos2^k-1α•cos2^kα=

sin2kα

2ksinα

•cos2^kα=

sin2k+1α

2k+1sinα

?．
即当n=k+1时，等式也成立．
由（1），（2）得cosα•cos2α•…•cos 2^n-1α=

sin2nα

2nsinα

（n∈N，n≥2）成立．

点评：本题考查合情推理的能力，善于寻找数字规律，是解决数字型归纳推理的共同点，考查数学归纳法的应用，注意数学归纳法证明时，必须用上假设．