Question

已知：函数f（x）=log₂

1-x

1+x

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数的单调性并予以证明．当x∈（-a，a]（其中a∈（0，1），a为常数）时，f（x）是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的单调性及单调区间,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）要使f（x）有意义，即

1-x

1+x

＞0，求得x的范围，可得f（x）的定义域．
（Ⅱ）由于 f（x）的定义域为（-1，1），且f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数．
任取-1＜x₁＜x₂，求得f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），可得函数f（x）是增函数．

解答： 解：（Ⅰ）要使f（x）有意义，即

1-x

1+x

＞0，∴f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称．
且f（-x）=log₂

1-x

1+x

=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（Ⅱ）任取-1＜x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=log₂

1-x1

1+x1

-log₂

1-x2

1+x2

=log₂

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

．

由题设可得

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1，
∴log₂

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0，
故有f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）是减函数．
因为函数f（x）是减函数，所以当x∈（-a，a]有最小值即为x=a时，最小值为f（a）=log₂

1-a

1+a

．

点评：本题主要考查对数函数的奇偶性、单调性的判断和证明．