Question

    已知函数，

   （Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

   （Ⅱ）设，是否存在实数，当时，函数的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

   （III）当 时，证明：

Answer 1

解：（Ⅰ）在上恒成立，     … 2分

     设 ，令                               … 3分

得   得 .                                        … 4分

   （Ⅱ）（）， .

①     当时，

因，故在上单调递减，

，（舍去）.                      … 5分

②      当时，即时，

因在上，；在上，.

故在上单调递减，在上单调递增.

，，满足条件.                … 7分

③     当时，即时，

因，故在上单调递减，

，（舍去）.                      … 8分

综上，存在实数，使得当时有最小值. 

（III）令，由（Ⅱ）知，.                 … 9分

令，，                         … 10分

当时，因，故在上单调递增.       … 11分

∴                          … 12分

  即              … 13分